Regularidad de Funciones de Probabilidad: Aplicaciones a algoritmos de Optimización

Abstract: Una función de probabilidad tiene la forma $\varphi(x) := P(g(x, z) \leq 0)$, donde g es una aplicación que define un sistema de desigualdades aleatorias, x es un vector de decisión, y z es un vector aleatorio definido en un espacio de probabilidad.

Las funciones de probabilidad surgen de manera natural en muchas aplicaciones de ingeniería en las que el parámetro z en una restricción $g(x,z)\leq 0$ es parcialmente conocido o está sujeto a incertidumbre. En tales casos, un modelo apropiado consiste en requerir que la probabilidad de satisfacer el sistema de desigualdades sea suficientemente alta. Esto conduce a lo que se conoce como una restricción de probabilidad, $\varphi(x)\geq p$, donde p es un parámetro entre 0 y 1 definido por el usuario para modelar el problema.

El interés de esta presentación es revisar bajo qué condiciones una función de probabilidad puede ser de clase $C^{1,1}$. Esta propiedad de regularidad es crucial, ya que permite aplicar varios algoritmos de optimización que se basan en supuestos de clase $C^{1,1}$ para garantizar tasas de convergencia deseables. En particular, presentamos una rutina para calcular la función de probabilidad y su gradiente, la cual se integra en algoritmos clásicos para problemas de maximización de probabilidad. Además, siguiendo el enfoque de [1], desarrollamos un algoritmo que utiliza esta rutina y aproxima la probabilidad mediante distribuciones marginales.